रेखीय (अथवा दैर्ध्य ), क्षेत्रीय तथा आयतन प्रसार-गुणांक (Linear, regional,volume expansion coefficients)|hindi


रेखीय (अथवा दैर्ध्य ), क्षेत्रीय तथा आयतन प्रसार-गुणांक (Linear (or wavelength), regional and volume expansion coefficients) 
रेखीय (अथवा दैर्ध्य ), क्षेत्रीय तथा आयतन प्रसार-गुणांक (Linear (or wavelength), regional and volume expansion coefficients)

रेखीय (अथवा दैर्घ्य ) प्रसार-गुणांक (linear (or length) coefficient of expansion)
कई प्रयोगों द्वारा यह देखा गया है कि किसी छड़ को गर्म करने पर उसकी लम्बाई में वृद्धि छड़ की मूल लम्बाई के तथा ताप-वृद्धि के अनुक्रमानुपाती होती है। माना किसी छड़ की किसी ताप पर लम्बाई L है तथा इसके ताप में t की वृद्धि करने पर लम्बाई L + L हो जाती है। तब छड़ की लम्बाई में वृद्धि

                            △L ∝ L × t
 अथवा                  L = α × L × t         ...(i)

जहाँ  α (ऐल्फा) एक नियतांक है जो छड़ के पदार्थ पर निर्भर करता है। इसे छड़ के पदार्थ का "रेखीय-प्रसार गुणांक' कहते हैं। समीकरण (i) से

                      =  α = L / L  ✕ t
                      =  लम्बाई में वृद्धि / प्रारम्भिक लम्बाई ✕ ताप में वृद्धि

यदि                △t = 1°C, तो α L / L

अतः किसी पदार्थ की छड़ का ताप 1°C बढ़ाने पर छड़ की लम्बाई में होने वाली वृद्धि तथा छड़ की प्रारम्भिक लम्बाई के अनुपात को उस पदार्थ का रेखीय प्रसार-गुणांक कहते हैं। इसका मात्रक 'प्रति °C' होता है।


क्षेत्रीय प्रसार-गुणांक (Coefficient of Superficial Expansion)

रेखीय-प्रसार की भाँति किसी ठोस का क्षेत्रीय प्रसार भी ठोस के प्रारम्भिक क्षेत्रफल, ताप में वृद्धि तथा ठोस के पदार्थ पर निर्भर करता है।

किसी पदार्थ के पटल (lamina) का ताप 1°C बढ़ाने पर पटल के क्षेत्रफल में होने वाली वृद्धि तथा पटल के प्रारम्भिक क्षेत्रफल के अनुपात को उस पदार्थ का क्षेत्रीय प्रसार-गुणांक कहते हैं। इसे प्रायः ग्रीक अक्षर β (बीटा) से प्रदर्शित करते हैं।

माना कि किसी पटल का प्रारम्भिक क्षेत्रफल A है तथा इसके ताप में t की वृद्धि करने पर इसका क्षेत्रफल A +A हो जाता है। तब पटल के पदार्थ का क्षेत्रीय प्रसार-गुणांक

                   β = क्षेत्रफल में वृद्धि / प्रारम्भिक क्षेत्रफल × ताप में वृद्धि
                      = A / Α × t प्रति °C


क्षेत्रीय प्रसार-गुणांक का रेखीय-प्रसार-गुणांक से सम्बन्ध :  मान लिया कि किसी ताप पर किसी पदार्थ के वर्गाकार पटल की प्रत्येक भुजा 1 सेमी हैं तथा उसका रेखीय-प्रसार-गुणांक α  है। पटल का क्षेत्रफल 1 सेमी² होगा।

माना कि उस पटल के ताप में 1°C की वृद्धि की जाती है। तब नये ताप पर (चित्र में)
रेखीय (अथवा दैर्ध्य ), क्षेत्रीय तथा आयतन प्रसार-गुणांक (Linear (or wavelength), regional and volume expansion coefficients)|hindi

     पटल की प्रत्येक भुजा = (1 + α ) सेमी

           पटल का क्षेत्रफल = (1 + α )² सेमी²

∴           क्षेत्रफल में वृद्धि = (1 + α )² – 1

                                      = 1 + 2 α  + α ² - 1

                                      = 2 α  + α ²

चूँकि α  का मान 1 से बहुत कम होता है, अतः α ² का मान और भी कम होगा तथा उपरोक्त समीकरण में α ² को छोड़ सकते हैं। तब 

             क्षेत्रफल में वृद्धि = 2α 

             β = क्षेत्रफल में वृद्धि / प्रारम्भिक क्षेत्रफल × ताप में वृद्धि

                = 2 α  / 1×1 = 2 α 

अतः किसी पदार्थ का क्षेत्रीय प्रसार-गुणांक उसके रेखीय-प्रसार-गुणांक का दोगुना होता है।


आयतन-प्रसार-गुणांक (Coefficient of Volume Expansion)
किसी ठोस का आयतन-प्रसार भी प्रारम्भिक आयतन, ताप में वृद्धि तथा ठोस के पदार्थ पर निर्भर करता है। किसी पदार्थ के एक पिंड का ताप 1°C बढ़ाने पर पिंड के आयतन में होने वाली वृद्धि तथा पिंड के प्रारम्भिक आयतन के अनुपात को उस पदार्थ का आयतन-प्रसार-गुणांक कहते हैं। इसे प्रायः ग्रीक अक्षर γ (गामा) से प्रदर्शित करते हैं ।

माना कि किसी पिंड का प्रारम्भिक आयतन V है तथा इसके ताप में t की वृद्धि करने पर इसका आयतन V+V हो जाता है। तब पिंड के पदार्थ का आयतन-प्रसार गुणांक

                     γ = आयतन में वृद्धि / प्रारम्भिक आयतन × ताप में वृद्धि
                        = V / V × t प्रति °C

आयतन-प्रसार-गुणांक का रेखीय-प्रसार-गुणांक से सम्बन्ध : मान लिया कि किसी ताप पर किसी पदार्थ के घन (cube) की प्रत्येक भुजा 1 सेमी है तथा उसका रेखीय-प्रसार-गुणांक α है। घन का आयतन 1 सेमी³ होगा। 
माना कि उस घन के ताप में 1°C की वृद्धि की जाती है। तब नये ताप पर (चित्र में )
रेखीय (अथवा दैर्ध्य ), क्षेत्रीय तथा आयतन प्रसार-गुणांक (Linear (or wavelength), regional and volume expansion coefficients)|hindi


घन की प्रत्येक भुजा  = (1 + α) सेमी,


∴    घन का आयतन  = (1 + α)³ सेमी³

∴    आयतन में वृद्धि  = (1 + α)³ - 1

                                = 1 + 3α +3α² + α³ - 1
    
                                = 3α +3α² + α³

चूंकि α का मान 1 से बहुत कम है, अतः α² तथा α³ के मान और भी कम होंगे तथा उनकी उपेक्षा की जा सकती है। तब

                आयतन में वृद्धि = 3α

          ∴    आयतन में वृद्धि / प्रारम्भिक आयतन × ताप में वृद्धि

            = 3α / 1×1 = 3α

अतः किसी पदार्थ का आयतन-प्रसार गुणांक उसके रेखीय प्रसार-गुणांक का तीन गुना होता है। रेखीय, क्षेत्रीय तथा आयतन प्रसार गुणांकों में अनुपात:

                  β = 2 α तथा γ = 3α

∴               α : β : γ =  α : 2 α : 3 α = 1 : 2 : 3

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